18.01 · Single Variable Calculus · lección 3
Derivadas del seno y el coseno, regla del producto y del cociente
El objetivo de la unidad es poder derivar cualquier función. Para eso hacen falta dos tipos de fórmulas: unas específicas, que dan la derivada de una función concreta, y otras generales, que dicen cómo derivar combinaciones de funciones. Esta clase agrega dos específicas, las derivadas de \(\sin x\) y \(\cos x\), y dos generales, las reglas del producto y del cociente.
Lo que ya teníamos:
\[\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\]1. Fórmulas específicas y generales
| Tipo | Qué dice | Ejemplos |
|---|---|---|
| Específica | La derivada de una función concreta. | \(\dfrac{d}{dx}x^n\), \(\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x}\) |
| General | Cómo se deriva una combinación de funciones. | \((u + v)' = u' + v'\), \(\quad (cu)' = cu'\) con \(c\) constante |
Las dos clases se usan juntas: las específicas dan un stock inicial de funciones y las generales permiten fabricar muchas más. Los polinomios ya necesitaban las dos (potencias más suma y constantes).
Prueba de \((u + v)' = u' + v'\). Sale directo de la definición, separando el cociente de diferencias en dos:
\[(u + v)'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x) - u(x) - v(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right) = u'(x) + v'(x)\]La prueba de \((cu)' = cu'\) es igual: la constante sale del límite.
2. Derivada del seno
Se arma el cociente de diferencias y se usa la fórmula de suma:
\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]con \(a = x\) y \(b = \Delta x\):
\[\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \frac{\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x}\]Cómo agrupar. Es un límite difícil: con \(\Delta x = 0\) queda \(\frac{0}{0}\). Hay que agrupar los términos de modo que cada cero quede sobre un cero; si aparece algo como \(\frac{1}{0}\), el límite no sirve. Como \(\cos \Delta x \to 1\), el término \(\sin x \cos \Delta x\) solo se cancela si se lo junta con \(-\sin x\):
\[= \sin x \cdot \underbrace{\frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x}}_{\to\, 0 \ \text{(A)}} + \cos x \cdot \underbrace{\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}}_{\to\, 1 \ \text{(B)}}\] \[\boxed{\frac{d}{dx}\sin x = \cos x}\]3. Derivada del coseno
Mismo procedimiento, con la fórmula de suma del coseno:
\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\] \[\frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = \frac{\cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x - \cos x}{\Delta x} = \cos x \cdot \underbrace{\frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x}}_{\to\, 0 \ \text{(A)}} - \sin x \cdot \underbrace{\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}}_{\to\, 1 \ \text{(B)}}\] \[\boxed{\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x}\]La diferencia clave con el seno es el signo menos de la fórmula de suma, que pasa directo al resultado.
4. Todo se reduce a \(x = 0\)
Los límites A y B son, justamente, las derivadas del seno y el coseno en \(0\):
\[\left.\frac{d}{dx}\cos x\right\vert _{x=0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x - \cos 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x} = 0 \quad \text{(A)}\] \[\left.\frac{d}{dx}\sin x\right\vert _{x=0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x - \sin 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1 \quad \text{(B)}\]Idea de la prueba. Alcanza con conocer la tasa de cambio del seno y del coseno en un solo punto, \(x = 0\). Las fórmulas de suma trasladan esa información a todos los demás puntos.
5. Pruebas de A y B
Seno y coseno solo están definidos geométricamente, así que la prueba también es geométrica. Se cambia \(\Delta x\) por \(\theta\) para pensarlo como un ángulo en el círculo de radio \(1\).
B: \(\dfrac{\sin\theta}{\theta} \to 1\)
Se duplica el dibujo hacia abajo y queda como un arco de tiro con su cuerda (bow and bow string):
\[\frac{\sin\theta}{\theta} = \frac{2\sin\theta}{2\theta} = \frac{\text{cuerda (vertical)}}{\text{arco}}\]Cuando \(\theta\) se achica, el arco se parece cada vez más a un segmento recto y las dos longitudes se acercan. El principio es:
Los tramos cortos de una curva son casi rectos.
A: \(\dfrac{1 - \cos\theta}{\theta} \to 0\)
Se da vuelta el signo para tener una longitud positiva: probar que \(\frac{1 - \cos\theta}{\theta} \to 0\) es lo mismo que probar que \(\frac{\cos\theta - 1}{\theta} \to 0\).
La distancia del vértice a la cuerda es \(\cos\theta\) y el radio es \(1\), así que \(1 - \cos\theta\) es el hueco entre la cuerda y el arco. Al achicar \(\theta\) (y agrandar el dibujo para poder verlo), el arco se vuelve casi vertical y el hueco se hace mucho más chico que el arco.
¿No tienden a \(0\) el numerador y el denominador? Sí, los dos. La diferencia con B es la velocidad: en B la cuerda y el arco terminan siendo casi iguales (cociente \(\to 1\)); en A el hueco tiende a \(0\) mucho más rápido que el arco (cociente \(\to 0\)).
Advertencia: radianes
Las dos pruebas comparan la cuerda con la longitud del arco, y en el círculo de radio \(1\) el arco de ángulo \(\theta\) mide \(\theta\) solo si \(\theta\) está en radianes. En grados las comparaciones no valen.
Las fórmulas \(\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\) y \(\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x\) son válidas solo con \(x\) en radianes.
6. Segunda prueba: \(\frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta\), geométrica
Esta prueba no pasa por \(x = 0\): trabaja en un \(\theta\) cualquiera, con los mismos principios.
Un punto recorre el círculo de radio \(1\). Su altura es \(y = \sin\theta\). Se mueve de \(P\) (ángulo \(\theta\)) a \(Q\) (ángulo \(\theta + \Delta\theta\)), y \(R\) es el punto que está arriba de \(P\) a la altura de \(Q\). Entonces:
\[\Delta y = PR\]
Paso 1. La hipotenusa. Por el principio de los tramos cortos, el arco de \(P\) a \(Q\) es casi el segmento recto \(PQ\). El arco mide \(\Delta\theta\), así que:
\[PQ \approx \Delta\theta\]Paso 2. El ángulo \(QPR\). Se usan dos hechos:
- \(PQ\) es casi perpendicular al radio \(OP\) (en el límite es la recta tangente).
- \(PR\) es vertical.
El ángulo \(\theta\) está entre la horizontal y \(OP\). Si se giran los dos lados \(90°\), la horizontal pasa a ser vertical (\(PR\)) y \(OP\) pasa a ser \(PQ\). Girar no cambia el ángulo, así que:
\[\angle QPR \approx \theta\]Paso 3. El cateto. En el triángulo rectángulo \(PQR\), el cateto adyacente es la hipotenusa por el coseno del ángulo:
\[\Delta y = PR \approx PQ \cos\theta \approx \Delta\theta \cos\theta \implies \frac{\Delta y}{\Delta\theta} \approx \cos\theta\]Con \(\Delta\theta \to 0\) la aproximación se vuelve exacta:
\[\lim_{\Delta\theta \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta\theta} = \cos\theta \qquad \blacksquare\]Este tipo de razonamiento con \(\Delta x\) y \(\Delta y\) sobre un dibujo vuelve en 18.02, por ejemplo para desarrollar la longitud de arco.
7. Reglas generales: producto y cociente
En clase solo se enunciaron; las demostraciones quedan para la próxima, pero están en las notas del curso y entran en la evaluación.
Regla del producto
\[\boxed{(uv)' = u'v + uv'}\]Se recuerda como “cambiar una a la vez”: se deja fija \(v\) y se varía \(u\), después al revés, y se suman los dos efectos. Es una forma útil de pensar cualquier derivada que depende de más de una función.
Demostración. Se suma y se resta \(u(x + \Delta x)\,v(x)\) en el numerador:
\[\frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} = \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}\, v(x) + u(x + \Delta x)\, \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\]Con \(\Delta x \to 0\), el primer término tiende a \(u'(x)\,v(x)\) y el segundo a \(u(x)\,v'(x)\). Para el segundo hace falta que \(u(x + \Delta x) \to u(x)\), es decir, que \(u\) sea continua; eso está garantizado porque \(u\) es derivable (teorema de la Lección 2). \(\blacksquare\)
Justificación con áreas. Se piensa \(uv\) como el área de un rectángulo. Con \(u + \Delta u\) y \(v + \Delta v\), el rectángulo crece en tres pedazos:
\[(u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv = \underbrace{u\,\Delta v}_{\text{rojo}} + \underbrace{v\,\Delta u}_{\text{amarillo}} + \underbrace{\Delta u\,\Delta v}_{\text{blanco}}\]Si \(\Delta u\) y \(\Delta v\) son chicos, el rectángulo blanco es despreciable. Dividiendo por \(\Delta x\) y tomando el límite queda \(u'v + uv'\).
Regla del cociente
\[\boxed{\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}} \qquad (v \neq 0)\]Demostración. Con la misma notación, se pasa a denominador común y se cancela \(uv - uv\):
\[\frac{u + \Delta u}{v + \Delta v} - \frac{u}{v} = \frac{(u + \Delta u)v - u(v + \Delta v)}{(v + \Delta v)v} = \frac{(\Delta u)v - u(\Delta v)}{(v + \Delta v)v}\]Se divide por \(\Delta x\) y se toma el límite (con \(\Delta v \to 0\) por continuidad):
\[\frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}v - u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{(v + \Delta v)v} \xrightarrow[\Delta x \to 0]{} \frac{u'v - uv'}{v^2} \qquad \blacksquare\]Resumen
| Qué | Resultado |
|---|---|
| Suma y constante | \((u + v)' = u' + v'\), \(\quad (cu)' = cu'\) |
| Seno | \(\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x\) |
| Coseno | \(\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x\) |
| Límites clave | (A) \(\dfrac{\cos x - 1}{x} \to 0\), \(\quad\) (B) \(\dfrac{\sin x}{x} \to 1\): son las derivadas en \(0\) |
| Unidades | Todo vale solo en radianes |
| Producto | \((uv)' = u'v + uv'\) |
| Cociente | \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), con \(v \neq 0\) |
Glosario
- Fórmula específica: da la derivada de una función concreta, como \(\sin x\) o \(x^n\).
- Fórmula general: dice cómo derivar una combinación (suma, producto, cociente) a partir de las derivadas de las partes.
- Fórmulas de suma: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) y \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\).
- Radián: medida de un ángulo como la longitud del arco que abarca en el círculo de radio \(1\).
- Longitud de arco: la longitud del tramo curvo de la circunferencia.
- “Los tramos cortos de una curva son casi rectos”: principio detrás de las pruebas geométricas; al hacer zoom, el arco se confunde con la cuerda o la tangente.
- “Cambiar una a la vez”: forma de pensar la regla del producto; se suma el efecto de variar cada función con la otra fija.