18.01 · Single Variable Calculus · lección 2
Tasas de cambio, límites y continuidad
La clase anterior definió la derivada como pendiente de la recta tangente. Esta suma la otra lectura, la derivada como tasa de cambio, y después pone en orden lo que hace falta sobre límites y continuidad. Cierra con un teorema: si una función es derivable, es continua.
Lo que ya teníamos:
\[\frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} \qquad \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1} \quad (n = 1, 2, \dots)\]1. La derivada como tasa de cambio
| Fórmula | Qué mide | |
|---|---|---|
| Tasa promedio | \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) | El cambio a lo largo de un intervalo. |
| Tasa instantánea | \(\dfrac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) | El cambio en un punto. |
Ejemplos de física:
- Carga \(q\) → corriente \(I = \dfrac{dq}{dt}\)
- Posición \(s\) → velocidad \(v = \dfrac{ds}{dt}\)
Ejemplo: la calabaza del Green Building
En el Pumpkin Drop del MIT se tira una calabaza desde el techo del Green Building, a unos 80 m. Modelo simplificado, con \(h\) en metros y \(t\) en segundos:
\[h(t) = 80 - 5t^2\]Tiempo de caída. Toca el piso cuando \(h(t) = 0\):
\[5t^2 = 80 \implies t = 4 \text{ s}\]Velocidad promedio durante la caída:
\[\frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{h(4) - h(0)}{4 - 0} = \frac{0 - 80}{4} = -20 \text{ m/s}\]Velocidad instantánea al llegar al piso:
\[h'(t) = -10t \implies h'(4) = -40 \text{ m/s}\]Resultado. Llega al piso a \(40\) m/s, unos \(144\) km/h (\(\approx 90\) mph): el doble de la velocidad promedio. El signo negativo indica que la altura baja.
2. Tasas de cambio que no dependen del tiempo
La derivada mide cuánto reacciona una magnitud cuando cambia otra, sea o no el tiempo.
- Gradiente de temperatura. Si \(T\) es la temperatura y \(x\) la posición, \(\dfrac{dT}{dx}\) es el gradiente térmico. Se usa en meteorología y en dinámica de fluidos.
- Sensibilidad de una medición (GPS simplificado). El satélite mide la distancia \(h\) con ondas de radio y un reloj, y en tierra se deduce la distancia horizontal \(L\). Un error \(\Delta h\) en la medición se traslada a \(L\) así:
Por ejemplo, de esta sensibilidad depende la precisión para el aterrizaje de aviones.
3. Límites
Fáciles y difíciles
- Fáciles: se resuelven reemplazando, porque la función está definida en el punto.
- Difíciles: los que definen una derivada. Reemplazar siempre da \(\frac{0}{0}\), así que hay que simplificar antes.
Límites laterales
| Notación | Se acerca con | |
|---|---|---|
| Por derecha | \(\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)\) | \(x > x_0\) |
| Por izquierda | \(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)\) | \(x < x_0\) |
Ejemplo. Sea
\[f(x) = \begin{cases} x + 1 & x > 0 \\ -x & x \le 0 \end{cases}\]Por la derecha, \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1\), pero \(f(0) = 0\). Por la izquierda, el límite sí coincide con \(f(0)\). Se dice que \(f\) es continua por izquierda en \(0\), pero no por derecha.
4. Continuidad
\(f\) es continua en \(x_0\) si:
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Eso pide tres cosas:
- Que el límite exista, es decir, que los dos límites laterales existan y sean iguales.
- Que \(f(x_0)\) esté definida.
- Que los dos valores coincidan.
El zoológico de discontinuidades
| Tipo | Qué pasa | Ejemplo |
|---|---|---|
| De salto | Los límites laterales existen pero son distintos. | Precios en modelos financieros: cambian de golpe entre el pasado (\(x < x_0\)) y el futuro (\(x > x_0\)). |
| Evitable | El límite existe, pero \(f(x_0)\) no está definida o vale otra cosa. | \(\dfrac{\sin x}{x}\) y \(\dfrac{1 - \cos x}{x}\) en \(x = 0\). |
| Infinita | Al menos un límite lateral se va a \(\pm\infty\). | \(\dfrac{1}{x}\) en \(x = 0\). |
| Oscilatoria (“fea”) | La función oscila sin parar y no hay límite. | \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) cuando \(x \to 0\). |
Los dos límites del caso evitable (se usan en la próxima clase):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\]Con \(x\) en radianes, no en grados. La prueba es geométrica: en un círculo de radio \(1\), un arco de ángulo \(\theta\) mide exactamente \(\theta\).
- Seno. La altura \(\sin\theta\) y el arco \(\theta\) se parecen cada vez más a medida que \(\theta\) se achica, así que \(\frac{\sin\theta}{\theta} \to 1\).
- Coseno. El tramo horizontal \(1 - \cos\theta\) se achica mucho más rápido que el arco \(\theta\), así que \(\frac{1 - \cos\theta}{\theta} \to 0\).
Detalle del caso infinito. Para \(f(x) = \frac{1}{x}\):
\[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\]Su derivada \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) va a \(-\infty\) por los dos lados. Esto pasa porque \(\frac{1}{x}\) es impar y su derivada es par: la derivada de una función impar siempre es par.
5. Teorema: derivable implica continua
Teorema. Si \(f\) es derivable en \(x_0\), entonces \(f\) es continua en \(x_0\).
Demostración. Hay que ver que \(\lim\limits_{x \to x_0} \big(f(x) - f(x_0)\big) = 0\). Se multiplica y se divide por \(x - x_0\):
\[\lim_{x \to x_0} \big(f(x) - f(x_0)\big) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)\]El primer factor tiende a \(f'(x_0)\) y el segundo a \(0\):
\[= f'(x_0) \cdot 0 = 0 \qquad \blacksquare\]¿Por qué se puede dividir por \(x - x_0\)? Porque en el límite \(x\) se acerca a \(x_0\) sin llegar nunca a ser igual, así que \(x - x_0 \neq 0\).
La recíproca es falsa: una función puede ser continua y no derivable. Por ejemplo, el valor absoluto en \(0\).
Resumen
| Qué | Resultado |
|---|---|
| Tasa instantánea | \(\dfrac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) |
| Calabaza | \(h(t) = 80 - 5t^2\): cae en \(4\) s, promedio \(-20\) m/s, impacto \(-40\) m/s |
| Propagación de error | \(\Delta L \approx \dfrac{dL}{dh}\,\Delta h\) |
| Continuidad | \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) |
| Límites trigonométricos | \(\dfrac{\sin x}{x} \to 1\), \(\quad \dfrac{1 - \cos x}{x} \to 0\) |
| Teorema | derivable \(\implies\) continua (no al revés) |
Glosario
- Tasa de cambio promedio: \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) sobre un intervalo finito.
- Tasa de cambio instantánea: el límite de la promedio cuando el intervalo tiende a cero; es \(\frac{dy}{dx}\).
- Gradiente: derivada respecto de la posición, por ejemplo \(\frac{dT}{dx}\).
- Sensibilidad: cuánto cambia el resultado ante un error en el dato; por ejemplo \(\frac{dL}{dh}\).
- Límites laterales: acercarse al punto solo desde la derecha (\(x_0^+\)) o solo desde la izquierda (\(x_0^-\)).
- Continuidad: el límite en el punto existe y coincide con el valor de la función.
- Discontinuidad evitable: el límite existe, pero el punto falta o tiene otro valor.
- Discontinuidad de salto: los límites laterales existen pero no coinciden.