18.01 · Single Variable Calculus · lección 1
Derivadas, pendiente, velocidad y tasa de cambio
La Unidad 1 trata la diferenciación. La derivada tiene dos lecturas que se usan todo el tiempo:
- Geométrica: la pendiente de la recta tangente a una gráfica.
- Física: la tasa de cambio de una magnitud respecto de otra.
Esta clase se queda con la geométrica: define la derivada a partir de la recta tangente y la calcula para \(1/x\) y para \(x^n\).
1. El problema: la recta tangente
Queremos la recta tangente a \(y = f(x)\) en el punto \(P = (x_0, y_0)\). Una recta que pasa por un punto queda determinada por su pendiente:
\[y - y_0 = m(x - x_0)\]Hacen falta dos datos:
- El punto: \(y_0 = f(x_0)\). Se obtiene evaluando la función.
- La pendiente: \(m = f'(x_0)\). Es la derivada en \(x_0\), y es lo que hay que calcular.
2. Definición de derivada
La tangente es el límite de las rectas secantes \(PQ\) cuando el punto \(Q\) se acerca a \(P\) sobre la curva.
Si \(Q\) está a una distancia horizontal \(\Delta x\) de \(P\):
- cambio horizontal: \(\Delta x\)
- cambio vertical: \(\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)
- pendiente de la secante (cociente de diferencias): \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\)
Haciendo tender \(\Delta x\) a cero:
\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]
Notación
| Notación | Escritura | Comentario |
|---|---|---|
| Newton | \(f'(x)\), \(y'\) | Deja explícito el punto donde se evalúa. |
| Leibniz | \(\dfrac{df}{dx}\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}f\) | Más cómoda para operar, pero suele omitir el punto \(x_0\). |
3. Ejemplo: \(f(x) = \frac{1}{x}\)
Cociente de diferencias. Se resta con denominador común y se cancela \(\Delta x\):
\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{x_0 + \Delta x} - \frac{1}{x_0}\right) = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{-1}{x_0(x_0 + \Delta x)}\]Límite. Con \(\Delta x \to 0\):
\[f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}\]Control de plausibilidad:
- Es siempre negativa: la hipérbola siempre baja.
- Tiende a \(0\) cuando \(x_0 \to \infty\): lejos del origen la curva se aplana.
Aplicación: el triángulo de área constante
Problema. La tangente a \(y = 1/x\) en \((x_0, y_0)\) forma un triángulo con los ejes. ¿Cuál es su área?
Paso 1. Recta tangente.
\[y - y_0 = -\frac{1}{x_0^2}(x - x_0)\]Paso 2. Corte con el eje \(x\). Con \(y = 0\) y \(y_0 = \frac{1}{x_0}\):
\[-\frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(x - x_0) \implies x - x_0 = x_0 \implies x = 2x_0\]Paso 3. Corte con el eje \(y\). La ecuación \(xy = 1\) es simétrica al intercambiar \(x\) e \(y\), así que por el mismo cálculo:
\[y = 2y_0\]Paso 4. Área.
\[\text{Área} = \frac{1}{2}(2x_0)(2y_0) = 2x_0y_0 = 2\]porque \(x_0 y_0 = 1\).
Resultado. El área es siempre \(2\), sin importar el punto de tangencia.
Sobre las variables. Aunque es “cálculo de una variable”, aparecen cuatro símbolos: \(x\), \(y\), \(x_0\), \(y_0\). Lo importante es distinguir el punto fijo \((x_0, y_0)\) de las variables \((x, y)\) que recorren la recta.
4. Ejemplo: regla de la potencia, \(f(x) = x^n\)
Para \(n\) natural:
\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}\]Por el binomio de Newton, solo importan los dos primeros términos:
\[(x + \Delta x)^n = x^n + n x^{n-1}\Delta x + O\big((\Delta x)^2\big)\]\(O\big((\Delta x)^2\big)\) agrupa los términos con \((\Delta x)^2\) o potencias mayores (la “basura”, junk). Reemplazando:
\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = n x^{n-1} + O(\Delta x) \xrightarrow[\Delta x \to 0]{} n x^{n-1}\] \[\boxed{\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}}\]Polinomios. La derivada es lineal, así que la regla se aplica término a término:
\[\frac{d}{dx}\left(x^3 + 5x^{10}\right) = 3x^2 + 50x^9\]Resumen
| Qué | Resultado |
|---|---|
| Definición | \(f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) |
| Recta tangente | \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\) |
| \(\frac{d}{dx}\frac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\frac{d}{dx}x^n\) | \(n x^{n-1}\) |
| Tangente a \(1/x\) | corta los ejes en \(2x_0\) y \(2y_0\); el triángulo tiene área \(2\) |
Glosario
- Recta secante: corta la curva en dos puntos, \(P\) y \(Q\).
- Recta tangente: límite de las secantes cuando \(Q \to P\). Tiene la misma pendiente que la curva en \(P\).
- Cociente de diferencias: \(\dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\). Es la tasa de cambio promedio entre dos puntos.
- Derivada: límite del cociente de diferencias. Es la tasa de cambio instantánea.
- Términos de orden superior: los que llevan \((\Delta x)^2\) o más. Desaparecen al tomar el límite.